ご参考：環の公理
∀ａ，∀ｂ，∀ｃ∈Ｒ
ａ＋（ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｂ）＋ｃ（加法の結合法則）
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ（加法の交換法則）
∃０∈Ｒ，ａ＋０＝ａ（零元が存在）
∃−ａ∈Ｒ，ａ＋（−ａ）＝０（反元が存在）
ａ・（ｂ・ｃ）＝（ａ・ｂ）・ｃ（乗法の結合法則）
ａ・（ｂ＋ｃ）＝ａ・ｂ＋ａ・ｃ，（ａ＋ｂ）・ｃ＝ａ・ｃ＋ｂ・ｃ（分配法則）